El acertijo de los tres sombreros es un caso particular (y el más simple) de algo mucho más grande y profundo en las matemáticas muy relacionado con la informática y las telecomunicaciones: La “teoría de codificación” (Coding Theory).
En este artículo, “Why Mathematicians Now Care About Their Hat Color“, se explica la breve pero interesante historia del problema y de cómo un profesor del departamento de matemáticas de Berkeley, el Dr. Elwyn Berlekamp, se dio cuenta de la relación del caso general del problema (para “n” sombreros) era en realidad una nueva forma de ver otros problemas conocidos:
Si miras las cosas que ya conoces desde un ángulo diferente a veces no puedes verlas.
En poco tiempo se dio cuenta de que para tres sombreros es posible ganar 2 de cada 3 veces: Probabilidad de ganar = 2/3. Más tarde, mientras se quedaba dormido, pudo ver la relación con la Teoría de Codificación. De modo que no tardó en comprobar que cuando el número de sombreros es una unidad menor que una potencia de dos, es posible conocer exactamente la probabilidad de ganar, por ejemplo, para 15 sombreros, la probabilidad es 15/16 (un 93.75% de posibilidades de ganar!!!).
Dicha teoría es una rama de las matemáticas y de la ciencia computacional en la que -oh! casualidad!- Berlekamp es experto. No creo que le costara mucho deducir la posibilidad de atacar al problema general usando una herramienta matemática llamada “Hamming Code” (en honor a Richard Hamming), que implementada en un algoritmo permite corregir errores en un mensaje compuesto de bits y, según el artículo (Wikipedia no lo confirma), comprimir la información.
Cuando en el acertijo se usan menos de 9 individuos con sombrero, la solución óptima puede ser determinada usando varios tipos de código. Para números mayores que no son una unidad menores que una potencia de dos, una estrategia diseñada con el código Hamming funciona con una probabilidad cada vez más cercana al 100% de acierto según va aumentando el número de jugadores.
Hay más estrategias diseñadas partiendo de otros planteamientos y otras herramientas, algunas que incluso mejoran la probabilidad de ganar…
Sin embargo, el problema de los sombreros sigue estando abierto: Nadie ha sido capaz de probar que no hay estrategias mejores, por lo que las probabilidades de ganar podrían ser mejores.
Como veis, el problema que resolvisteis ayer entre todos tiene las raíces bien profundo… el acertijo sólo era la punta de un enorme iceberg.
)